Course Details for A.Y. 2018/2019

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A. Year:

2018/2019

Name:

Algebra mod. I / Algebra mod. I

Type:

Module

Main course:

Algebra / Algebra

Basic information

Code:

DT0044

Sector:

MAT/02

Credits:

: Bachelor Degree in Mathematics 6 CFU (a)

Term:

2^nd semester

Degree(s):

Bachelor Degree in Mathematics 1^st anno curriculum Generale Compulsory

Language:

Italian

Teacher(s):

Carlo Scoppola

Course Objectives

Apprendimento delle strutture algebriche che sottendono alla matematica: Teorie aritmetiche. Gruppi.

Course Content

Nozioni fondamentali, aritmetica, combinatoria - Teoria delle funzioni: Iniettività, suriettività, biettività, inverse. Induzione. Permutazioni: Notazioni tabellare e ciclica. Operazioni con le permutazioni. Ordine dei cicli. Classi delle permutazioni. Aritmetica dei numeri interi: Divisione e divisibilità. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri primi e prime proprietà. Fattorizzazione unica. Funzione di Eulero e sue proprietà. Congruenze: Definizione e proprietà. Teorema Cinese del resto. Teorema di Fermat. Ancora sulla funzione di Eulero. Dagli interi ai razionali. I numeri complessi: Struttura e notazioni, operazioni, norme, coniugati, radici, radici dell’unità. Relazioni e corrispondenze: Ordinamenti. Relazioni d’ordine e di equivalenza. Esempi e proprietà. Costruzione dei razionali. Concetto di classe di equivalenza e di insieme quoziente. Compatibilità tra operazioni e relazioni di equivalenza. Operazioni indotte sui quozienti. Teorema fondamentale di “omomorfismo” per gli insiemi.
Gruppi - Semigruppi, monoidi e gruppi: Definizioni ed esempi. Prime proprietà. Gruppi numerici, gruppi di classi resto, gruppi di permutazioni. Gruppi abeliani. Tabella di Cayley. Analisi dei possibili gruppi di ordini piccoli. Sottogruppi: Definizione, criteri ed esempi. Gruppi di trasformazione. Gruppo Diedrale. Classi laterali e teorema di Lagrange: definizioni, esempi, teoremi e costruzioni concrete. Sottogruppi normali e gruppi quoziente: Rivisitazione di tutti gli esempi che sono di fatto quozienti. Definizioni, criteri e teoremi. Il gruppo dei Quaternioni. Gruppi ciclici: definizioni, esempi, struttura, concetto di ordine di elementi e collegamento con le cardinalità. Gruppi di ordine primo. Esempi di gruppi abeliani non ciclici. Omomorfismi ed isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Gruppi come immagini isomorfe di sottogruppi di gruppi di permutazioni. Teorema fondamentale di omomorfismo.

Prerequisites and Learning Activities

Insiemistica di base. Sistemi numerici di base.

Assessment Methods and Criteria

Gli esami consisteranno di una prova scritta e di una prova orale.

Course page updates

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Course information last updated on: 15 settembre 2015, 17:31