Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2019/2020
Nome:
Algebra mod. I / Algebra mod. I
Informazioni
Crediti:
: Bachelor Degree in Mathematics 6 CFU (a)
Erogazione:
Bachelor Degree in Mathematics 1st anno curriculum Generale Compulsory
Lingua:
Italiano
Prerequisiti
Insiemistica di base. Sistemi numerici di base.
Obiettivi
Apprendimento delle strutture algebriche che sottendono alla matematica: Teorie aritmetiche. Gruppi.
Sillabo
- Nozioni fondamentali, aritmetica, combinatoria -
Teoria delle funzioni: Iniettività, suriettività, biettività, inverse.
Induzione. Permutazioni: Notazioni tabellare e ciclica. Operazioni con le
permutazioni. Ordine dei cicli. Classi delle permutazioni.
Aritmetica dei numeri interi: Divisione e divisibilità. Massimo comun
divisore e minimo comune multiplo. Numeri primi e prime proprietà.
Fattorizzazione unica. Funzione di Eulero e sue proprietà.
Congruenze: Definizione e proprietà. Teorema Cinese del resto.
Teorema di Fermat. Ancora sulla funzione di Eulero.
Dagli interi ai razionali. I numeri complessi: Struttura e notazioni, operazioni, norme, coniugati,
radici, radici dell’unità.
Relazioni e corrispondenze: Ordinamenti. Relazioni d’ordine e di
equivalenza. Esempi e proprietà. Costruzione dei razionali. Concetto di
classe di equivalenza e di insieme quoziente. Compatibilità tra operazioni
e relazioni di equivalenza. Operazioni indotte sui quozienti. Teorema
fondamentale di “omomorfismo” per gli insiemi.
- Gruppi - Semigruppi, monoidi e gruppi: Definizioni ed esempi. Prime proprietà.
Gruppi numerici, gruppi di classi resto, gruppi di permutazioni. Gruppi
abeliani. Tabella di Cayley. Analisi dei possibili gruppi di ordini piccoli.
Sottogruppi: Definizione, criteri ed esempi. Gruppi di trasformazione.
Gruppo Diedrale.
Classi laterali e teorema di Lagrange: definizioni, esempi, teoremi e
costruzioni concrete.
Sottogruppi normali e gruppi quoziente: Rivisitazione di tutti gli esempi
che sono di fatto quozienti. Definizioni, criteri e teoremi. Il gruppo dei
Quaternioni.
Gruppi ciclici: definizioni, esempi, struttura, concetto di ordine di elementi
e collegamento con le cardinalità. Gruppi di ordine primo. Esempi di
gruppi abeliani non ciclici.
Omomorfismi ed isomorfismi, endomorfismi, automorfismi.
Gruppi come immagini isomorfe di sottogruppi di gruppi di permutazioni.
Teorema fondamentale di omomorfismo.
Modalità d'esame
Gli esami consisteranno di una prova scritta e di una prova orale.
Aggiornamenti alla pagina del corso
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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 15 settembre 2015, 17:31