Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2019/2020

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A. Accademico:

2019/2020

Nome:

Algebra mod. I / Algebra mod. I

Tipo:

Modulo

Corso principale:

Algebra / Algebra

Informazioni

Codice:

DT0044

SSD:

MAT/02

Crediti:

: Bachelor Degree in Mathematics 6 CFU (a)

Periodo:

2^nd semester

Erogazione:

Bachelor Degree in Mathematics 1^st anno curriculum Generale Compulsory

Lingua:

Italiano

Docenti:

Carlo Scoppola

Prerequisiti

Insiemistica di base. Sistemi numerici di base.

Obiettivi

Apprendimento delle strutture algebriche che sottendono alla matematica: Teorie aritmetiche. Gruppi.

Sillabo

Nozioni fondamentali, aritmetica, combinatoria - Teoria delle funzioni: Iniettività, suriettività, biettività, inverse. Induzione. Permutazioni: Notazioni tabellare e ciclica. Operazioni con le permutazioni. Ordine dei cicli. Classi delle permutazioni. Aritmetica dei numeri interi: Divisione e divisibilità. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri primi e prime proprietà. Fattorizzazione unica. Funzione di Eulero e sue proprietà. Congruenze: Definizione e proprietà. Teorema Cinese del resto. Teorema di Fermat. Ancora sulla funzione di Eulero. Dagli interi ai razionali. I numeri complessi: Struttura e notazioni, operazioni, norme, coniugati, radici, radici dell’unità. Relazioni e corrispondenze: Ordinamenti. Relazioni d’ordine e di equivalenza. Esempi e proprietà. Costruzione dei razionali. Concetto di classe di equivalenza e di insieme quoziente. Compatibilità tra operazioni e relazioni di equivalenza. Operazioni indotte sui quozienti. Teorema fondamentale di “omomorfismo” per gli insiemi.
Gruppi - Semigruppi, monoidi e gruppi: Definizioni ed esempi. Prime proprietà. Gruppi numerici, gruppi di classi resto, gruppi di permutazioni. Gruppi abeliani. Tabella di Cayley. Analisi dei possibili gruppi di ordini piccoli. Sottogruppi: Definizione, criteri ed esempi. Gruppi di trasformazione. Gruppo Diedrale. Classi laterali e teorema di Lagrange: definizioni, esempi, teoremi e costruzioni concrete. Sottogruppi normali e gruppi quoziente: Rivisitazione di tutti gli esempi che sono di fatto quozienti. Definizioni, criteri e teoremi. Il gruppo dei Quaternioni. Gruppi ciclici: definizioni, esempi, struttura, concetto di ordine di elementi e collegamento con le cardinalità. Gruppi di ordine primo. Esempi di gruppi abeliani non ciclici. Omomorfismi ed isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Gruppi come immagini isomorfe di sottogruppi di gruppi di permutazioni. Teorema fondamentale di omomorfismo.

Modalità d'esame

Gli esami consisteranno di una prova scritta e di una prova orale.

Aggiornamenti alla pagina del corso

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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 15 settembre 2015, 17:31