Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2017/2018

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A. Accademico:

2017/2018

Nome:

Geometria III / Geometria III

Tipo:

Corso singolo

Informazioni

Codice:

F0497

SSD:

MAT/03

Crediti:

: Bachelor Degree in Mathematics 9 CFU (b)

Periodo:

1^st semester

Erogazione:

Bachelor Degree in Mathematics 2^nd anno curriculum Generale Compulsory

Lingua:

Italiano

Docenti:

Barbara Nelli

Prerequisiti

Corsi del primo anno del corso di laurea in matematica

Obiettivi

Si prevede che lo studente acquisisca le nozioni di base di topologia necessarie per portare a termine la laurea di primo livello. Si prevede inoltre che, dopo aver acquisito alcune nozioni di teoria delle curve e superci, dal punto di vista intrinseco ed estrinseco, sia capace di risolvere problemi su tali temi.

Sillabo

TOPOLOGIA: 1. Topologie su un insieme. Funzioni continue. Basi di una topologia. Spazi metrici. Intorni. Chiusura di un insieme e frontiera. Parte interna. 2. Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. prodotto di spazi metrici. topologia prodotto e applicazioni continue. Prodotti di famiglie qualunque di spazi topologici (cenni). 3. Spazi di Hausdor. Spazi di Hausdor e applicazioni continue. Limiti e semicontinuita . Assiomi di separazione. Spazi topologici a base numerabile e spazi separabili. 4. Spazi connessi. Spazi connessi ed applicazioni continue. Prodotto di spazi connessi. Componenti connesse. Spazi localmente connessi (cenni). 5. Spazi compatti. Spazi compatti ed applicazioni continue. Prodotto di spazi compatti. Teorema di Tychonoff.
GEOMETRIA DIFFERENZIALE: 1. Curve parametrizzate, curve regolari e lunghezza d'arco. enunciato il teorema della curva di Jordan. Denita la connessione per archi. 2. Riferimento di Frenet. Teorema esistenza e unicita delle curve, data la curvatura e la torsione. Forma canonica locale. Denizione di superci regolari e primi esempi (piano, sfera con tutte le parametrizzazioni). Esercizi della settimana precedente. Superci regolari denite come graci e come controimmagini di valori regolari. 3. Un insieme denito come controimmagine di un valore regolare e una supercie regolare (senza dimostrazione). Superci di rotazione. Mappe dierenziabili denite su superci regolari. Mappe dierenziabili tra super- ci regolari. Dierenziale di una mappa denita tra due superci regolari. Denizione di vettore tangente ad una supercie. Dimostrazione del fatto che l'insieme dei vettori tangenti ad una supercie in un punto e l'immagine di R2 tramite il dierenziale di una parametrizzazione della supercie. 4. Esercizi della settimana precedente. Vettore normale ad una supercie. Prima forma fondamentale. Calcolo della lunghezza di una curva su una supercie. Calcolo dell'angolo tra due curve di una supercie, in particolare calcolo dell'angolo tra le curve coordinate. Mappa di Gauss, dierenziale della mappa di Gauss. Curvatura normale, sezione normale. Seconda forma fondamentale. Curvature principali. Teorema di Olinde Rodrigues. Cur- vatura di Gauss e curvatura media. classicazione dei punti di una supercie: ellittici, parabolici, iperbolici, planari. 5. Mappa di Gauss in coordinate locali. Indicatrice di Dupin. Direzioni asintotiche. 6. Direzioni coniugate: denizione e caratterizzazione. Coecienti delle forme fondamentali per una supercie di rotazione. Equazione delle curve asintotiche. Curve asintotiche della catenoide e dell'elicoide. Superci min- ime: denizione e caratterizzazione come punti critici del funzionale area. Denizione dei parametri isotermi su una supercie. Le funzioni coordinate di una supercie minima sono funzioni armoniche dei parametri isotermi. Determinazione dell'equazione di un graco minimo. Calcolo della supercie di Scherck. 7. Discussione euristica sulla geometria intrinseca delle superci. Denizione di isometria e isometria locale tra superci. Due superci sono localmente isometriche se hanno parametrizzazioni con coecienti della prima forma fondamentale uguaii. Denizione di mappa conforme e mappa conforme lo- cale tra superci. Condizione di conformita locale tra superci (senza di- mostrazione). Teorema: due superci regolari sono sempre localmente con- formi (senza dimostrazione). Simboli di Christoel, equazione di Gauss ed equazioni di Codazzi-Mainardi. Calcolo dei simboli di Christoel per una su- percie di rotazione. Teorema Egregium. Teorema fondamentale della teoria locale delle superci (senza dimostrazione). 8. Denizione di campo di vettori tangenti sa una supercie. Dierenziabilita di un campo di vettori. Campi di vettori lungo una curva della supercie. Deriva covariante. Campi di vettori paralleli. Il prodotto scalare tra due campi paralleli lungo una curva e costante. Denizione di trasporto par- allelo. Il trasporto parallelo e una isometria. Calcolo di trasporto parallelo lungo un parallelo di S2: Denizione di geodetica parametrizzata. Denizione globale di curva geodetica. Valore algebrico della derivata covariante. Cur- vatura geodetica. Espressione del valore algebrico della derivata covariante in funzione della prima forma fondamentale. Dimostrazione dell'esistenza e unicita del trasporto parallelo. Formula di Liouville per il calcolo della cur- vatura geodetica. Equazioni dierenziali delle geodetiche su una supercie. Calcolo delle equazioni dierenziali delle geodetiche nel caso delle superci di rotazione. 9. Teorema di Gauss-Bonnet: enunciato e prova nel caso locale. Denizione di una triangolazione di una supercie e proprieta . Cenni di classicazione delle superci compatte orientabili. Denizione del genere di una super- cie. Enunciato e dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet globale. Appli- cazioni del teorema di Gauss-Bonnet. Teorema di Jacobi. 10. Denizione di campo di vettori dierenziabile su una supercie e di punto singolare. Teorema dell'indice di Hopf-Poincare. Applicazioni del teorema dell'indice. 11.Mappa esponenziale. Teoremi connessi. Coordinate geodetiche e intorni normali. Applicazioni delle coordinate polari geodetiche e degli intorni normali. Caso della curvatura costante: Teorema di Minding.Caso della curvatura di segno costante: andamento della lunghezza di un arco di cerchio geodetico. Calcolo di K(p) in termini della lunghezza dei cerchi geodetici intorno a p. Teorema di minimizzazione delle geodetiche e conseguenze.Proprieta' di Rigidita' della Sfera. Dimostrazione di come discende dal Teorema: S compatta connessa con curvatura costante K e' una sfera.Enunciato e dimostrazione del Lemma Focale. Prova del Lemma che garantisce l'esistenza di un punto strettamente ellittico su una superficie compatta.Prova delle rigidita' della sfera. Enunciati delle generalizzazioni. I n particolare teorema di Alexandrov e Teorema di Hopf.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

Lo studente deve acquisire profonda conoscenza della teoria delle curve e delle superfici immerse in R3 e conoscenza delle nozioni di base della geometria intrinseca delle superfici. Lo studente deve inoltre acquisire le nozioni di base della topologia generale.
Lo studente deve essere capace di risolvere problemi riguardanti la teoria delle curve e delle superfici immerse e qualche problema riguardante la geometria intrinseca delle superfici. Inoltre deve saper riconoscere quando le nozioni di topologia acquisite si rivelino necessarie alla comprensione di altre problematiche
Lo studente deve mostrare abilita' nel comprendere problemi di teoria delle curve e superfici e di topologia e riconoscere il metodo più' opportuno per risolverli.
Lo studente deve essere in grado di spiegare gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi di teoria delle curve e delle superfici e della topologia
Lo studente deve aver acquisito la capacita' di leggere e capire parti più' avanzate di teoria intrinseca delle superfici e di topologia.

Testi di riferimento

M. Abate, F. Tovena, Curve e Super , Springer.
M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces , Prentice Hall.
V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale , Feltrinelli.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta ed in una prova orale a cui si accede dopo aver ottenuto la sufficienza alla prova scritta.

Aggiornamenti alla pagina del corso

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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 18 marzo 2015, 17:38