Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2015/2016

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A. Accademico:

2015/2016

Nome:

Calcolo delle probabilità A / Probability A

Tipo:

Corso singolo

Informazioni

Codice:

DT0022

SSD:

MAT/06

Crediti:

: Bachelor Degree in Mathematics 6 CFU (b)

Periodo:

2^nd semester

Erogazione:

Bachelor Degree in Mathematics 2^nd anno curriculum Generale Compulsory

Lingua:

Italiano

Docenti:

Fabio Antonelli

Prerequisiti

Corsi di analisi e geometria del primo biennio.

Obiettivi

Si prevede che con questo corso lo studente acquisisca la conoscenza delle nozioni basilari della teoria della probabilità e sappia applicarle nello studio di problemi concreti. Lo studente impara anche il piu semplice dei processi stocastici, le catene di Markov e alcune applicazioni a fenomeni di interesse in vari campi come fisica e biologia.

Sillabo

Spazio campione e $sigma$-algebra degli eventi. Probabilità: definizione e proprietà. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Indipendenza e relazione tra indipendenza e spazi prodotto.
Variabili aleatorie. Funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili aleatorie continue e discrete. Distribuzione notevoli. Vettori casuali. Distribuzioni congiunte e distribuzioni marginali. Funzioni di variabili aleatorie ed in particolare somma di variabili aleatorie. Distribuzioni condizionate e medie condizionate per variabili aleatorie discrete.
Media e sue proprieta. Varianza, covarianza e momenti di variabili aleatorie. Variabili aleatorie indipendenti. Variabili aleatorie non correlate. Disuguaglianze: Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebyshev.
Convergenza in media quadratica ed in probabilita. Relazioni tra questi tre tipi di convergenza. Legge dei grandi numeri per v.a. con momento secondo finito.
Catene di Markov omogenee. Probabilita di transizione ad 1 e n passi. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Distribuzioni congiunte finito-dimensionali. Esempi: passeggiata aleatoria con o senza barriere. Processi di nascita e morte, catena di Ehrenfest. Tempi di arresto: primo tempo di arrivo ad uno stato. Stati transienti e ricorrenti. Numero di visite ad uno stato. Proprieta e caratterizzazioni degli stati transienti e ricorrenti. Decomposizione dello spazio degli stati. Probabilita di assorbimento. Distribuzioni stazionarie, proprieta ed esempi.Distribuzioni stazionarie per le catene di nascita e morte. Processi reversibili. Catene regolari: Teorema di Markov-Kakutani. Stati numerabili: catene irriducibili.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

On succesfull completion of this course, the student should have profound knowledge of basic definitions and techniques in probability, have knowledge and understanding of Markov chains, have profound knowledge of the fundamental concepts of probability theory.
On succesfull completion of this course, the student should understand the connections with other fields of mathematics and should be aware of potential applications.
On succesfull completion of this course, the student should make informed choice on the suitability of the probabilistic models and approximation in concrete problems.
On succesfull completion of this course, the student should communicate the results and the understanding of its studies during the course.
On succesfull completion of this course, the student should be have to read and understand books and seminar in elementary probability topics.

Testi di riferimento

P. Baldi, Calcolo delle Probabilità , McGraw-Hill. 2007. testo addizionale
C.J. Stone, Introduction to Stochastic Processes , Waveland Press. 1972. testo addizionale
G. Grimmett D. Stirzaker, Probability and Random Processes , Oxford. 2001. libro di testo principale

Modalità d'esame

Prova scritta e prova orale

Aggiornamenti alla pagina del corso

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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 05 maggio 2016, 09:55