Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2018/2019

Prerequisiti

Corsi del primo anno del corso di laurea in matematica

Obiettivi

Si prevede che lo studente acquisisca le nozioni di base di topologia necessarie per portare a termine la laurea di primo livello. Si prevede inoltre che, dopo aver acquisito alcune nozioni di teoria delle curve e superci, dal punto di vista intrinseco ed estrinseco, sia capace di risolvere problemi su tali temi.

Sillabo

• TOPOLOGIA GENERALE: 1) Spazi topologici, funzioni continue e omeomorfismi. Spazi metrici. 2) Costruzioni basilari: sottospazi, prodotti e quozienti. 3) Spazi di Hausdorff, altre proprietà di separazione e assiomi di numerabilità. 4) Compattezza. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Tychonoff. Compattezza per successioni. 5) Connessione e connessione per archi. 6) Cenni su varietà topologiche, triangolazioni e classificazione delle superfici compatte (caratteristica di Eulero-Poincaré)
• GEOMETRIA DIFFERENZIALE: 1. Curve parametrizzate, curve regolari e lunghezza d'arco. Riferimento di Frenet. Teorema esistenza e unicita delle curve, data la curvatura e la torsione. 2. Definizione di superfici regolari e primi esempi (piano, sfera con tutte le parametrizzazioni). Esercizi della settimana precedente. Superfici regolari definite come grafici e come controimmagini di valori regolari. 3. Un insieme definito come controimmagine di un valore regolare e una superficie regolare (senza dimostrazione). Superfici di rotazione. Mappe differenziabili definite su superfici regolari. Mappe differenziabili tra superfici regolari. Differenziale di una mappa definita tra due superfici regolari. Definizione di vettore tangente ad una supercie. Dimostrazione del fatto che l'insieme dei vettori tangenti ad una superficie in un punto e l'immagine di R2 tramite il differenziale di una parametrizzazione della superficie. 4. Esercizi della settimana precedente. Vettore normale ad una superficie. Prima forma fondamentale. Calcolo della lunghezza di una curva su una superficie. Calcolo dell'angolo tra due curve di una superficie, in particolare calcolo dell'angolo tra le curve coordinate. Mappa di Gauss, differenziale della mappa di Gauss. Curvatura normale, sezione normale. Seconda forma fondamentale. Curvature principali. Teorema di Olinde Rodrigues. Curvatura di Gauss e curvatura media. classificazione dei punti di una superficie: ellittici, parabolici, iperbolici, planari. 5. Mappa di Gauss in coordinate locali. Indicatrice di Dupin. Direzioni asintotiche. 6. Direzioni coniugate: definizione e caratterizzazione. Coefficienti delle forme fondamentali per una superficie di rotazione. Equazione delle curve asintotiche. Curve asintotiche della catenoide e dell'elicoide. Superci minime: denizione e caratterizzazione come punti critici del funzionale area. Definizione dei parametri isotermi su una supercie. Le funzioni coordinate di una superficie minima sono funzioni armoniche dei parametri isotermi. Determinazione dell'equazione di un grafico minimo. Calcolo della superficie di Scherck. 7. Discussione euristica sulla geometria intrinseca delle superfici. Definizione di isometria e isometria locale tra superfici. Due superfici sono localmente isometriche se hanno parametrizzazioni con coefficienti della prima forma fondamentale uguaii. Denizione di mappa conforme e mappa conforme locale tra superci. Condizione di conformita locale tra superfici (senza dimostrazione). Teorema: due superfici regolari sono sempre localmente conformi (senza dimostrazione). Simboli di Christoffel, equazione di Gauss ed equazioni di Codazzi-Mainardi. Calcolo dei simboli di Christoffel per una superficie di rotazione. Teorema Egregium. Teorema fondamentale della teoria locale delle superfici (senza dimostrazione). 8. Definizione di campo di vettori tangenti su una superficie. Differenziabilita di un campo di vettori. Campi di vettori lungo una curva della supercie. Derivata covariante. Campi di vettori paralleli. Il prodotto scalare tra due campi paralleli lungo una curva è costante. Denizione di trasporto parallelo. Il trasporto parallelo è una isometria. Calcolo di trasporto parallelo lungo un parallelo di S2: Definizione di geodetica parametrizzata. Definizione globale di curva geodetica. Valore algebrico della derivata covariante. Curvatura geodetica. Espressione del valore algebrico della derivata covariante in funzione della prima forma fondamentale. Dimostrazione dell'esistenza e unicità del trasporto parallelo. Formula di Liouville per il calcolo della curvatura geodetica. Equazioni differenziali delle geodetiche su una supercie. Calcolo delle equazioni differenziali delle geodetiche nel caso delle superfici di rotazione. 9. Teorema di Gauss-Bonnet: enunciato e prova nel caso locale. Enunciato e dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet globale. Applicazioni del teorema di Gauss-Bonnet. Teorema di Jacobi. 10. Definizione di campo di vettori differenziabile su una supercie e di punto singolare. Teorema dell'indice di Hopf-Poincaré. Applicazioni del teorema dell'indice. 11.Mappa esponenziale.  Teoremi connessi.  Coordinate geodetiche e intorni normali. Applicazioni delle coordinate polari geodetiche e degli intorni normali. Caso della curvatura costante: Teorema di Minding.Caso della curvatura di segno costante: andamento della lunghezza di un arco di cerchio geodetico. Calcolo di K(p) in termini della lunghezza dei cerchi geodetici intorno a p. Teorema di minimizzazione delle geodetiche e conseguenze.Proprietà di  Rigidità della Sfera. Dimostrazione di come discende dal Teorema: S compatta connessa con curvatura costante K  è una sfera. Enunciato e dimostrazione del  Lemma Focale. Prova del Lemma che garantisce l'esistenza di un punto strettamente ellittico su una superficie compatta. Prova delle rigidita' della sfera. Enunciati delle generalizzazioni. In particolare teorema di Alexandrov e Teorema di Hopf.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

Testi di riferimento

• M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici , Springer.    
• M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces , Prentice Hall.    
• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale , Feltrinelli.    

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta ed in una prova orale a cui si accede dopo aver ottenuto la sufficienza alla prova scritta.

Aggiornamenti alla pagina del corso

• A.A. 2014/2015
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