Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2018/2019

Prerequisiti

Analisi matematica di base (calcolo differenziale ed integrale in una e più variabili). Equazioni differenziali ordinarie. Nozioni di base in sistemi dinamici finito dimensionali. Metodi elementari di soluzione di equazioni alle derivate parziali lineari (separazione delle variabili).

Obiettivi

1) Acquisire le basi nella modellistica matematica in dinamica delle popolazioni. 2) Provvedere ad una descrizione matematica di modelli di EDP in biologia delle popolazioni ed interpretare il comportamento qualitativo delle soluzioni. 3) Acquisire le nozioni di base di modelli in epidemiologia ed in cinetica delle reazioni chimiche. 4) Apprendere la modellistica matematica in dinamica delle popolazioni in ambienti eterogenei mediante EDP. 5) Conoscere modelli avanzati in biologia, come i modelli di chemiotassi o i modelli di dinamica strutturata. 6) Acquisire un solido background sulla matematica dei fenomeni di reazione-diffusione, sull'instabilità di Turing e sulla formazione di pattern.

Sillabo

• Modelli continui di popolazione per una specie. Modelli continui di crescita. Modelli con ritardo. Analisi lineare di modelli con ritardo: soluzioni periodiche.
• Modelli continui per popolazioni interagenti. Modello preda-predatore. Sistema di Lotka-Volterra. Modelli realistici. Modelli di competizione: principio di esclusione competitiva. Modelli di mutualismo.
• Modelli in cinetica delle reazioni. Azione di massa. Stime temporali e adimesionalizzazione. Analisi quasi stazionaria di Michaelis-Menten.
• Dinamica delle malattie infettive: modelli epidemiologici e modelli di AIDS. Modelli semplici (SIR, SI) ed applicazioni pratiche. Modelli di malattie veneree. AIDS: modelli di trasmissione dell'HIV.
• Modelli spazio-tempo: EDP in biologia. Equazioni di diffusione. Diffusione e random walk. La distribuzione Gaussiana. Proprietà regolarizzanti e di decadimento dell'operatore di diffusione. Diffusione nonlineare.
• Reazione-diffusione per una singola specie. Equazione diffusiva di Malthus ed ampiezza critica dell'intervallo. Onde viaggianti. Equazione di Fisher-Kolmogorov.
• Sistemi di reazione-diffusione. Onde multispecie in sistemi preda-predatore diffusivi. Instabilità di Turing. Formazione di pattern.
• Modelli di chemiotassi. Diffusione vs chemiotassi: stabilità e instabilità. Stabilità e blow-up. Chemiotassi con diffusione nonlineare. Modelli con densità massimale.
• Modelli di interazione nonlocale in biologia. Modelli matematici di swarm. Approsimazione con sistemi di particelle interagenti. Comportamento asintotico.
• Dinamica strutturata. Un esempio in ecologia: competizione per risorse. Tratti continui. ESS in modelli continui.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

Testi di riferimento

• James D. Murray, Mathematical Biology I: an introduction , Springer.    
• James D. Murray, Mathematical Biology II: Spatial models and biomedical applications , Springer.    
• Benoit Perthame, Transport equations in biology , Birkaeuser.    

Modalità d'esame

Esame scritto a domande aperte sugli argomenti svolti nel corso. Le domande contengono problemi ed esempi matematici che devono essere risolti in modo rigoroso.

Risorse Internet

Aggiornamenti alla pagina del corso

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