Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2019/2020

Prerequisiti

Analisi numerica di base. Equazioni differenziali.

Obiettivi

Obiettivo del corso: Fornire gli strumenti matematici adatti alla soluzione numerica dei problemi di ottimizzazione e di modellistica differenziale. Il corso è di 6CFU ed ha una durata di 60 ore. Risultati di apprendimento previsti: Essere in grado di risolvere numericamente e di sviluppare codici per problemi generali di ottimizzazione e per la soluzione di problemi nella modellistica differenziale.

Sillabo

• Metodi iterativi per la soluzione di equazioni e sistemi non-lineari. Metodo di bisezione per equazioni nonlineari. Teoria generale dei metodi iterativi. Convergenza e ordine. Metodo di Newton. Estensione al caso di sistemi non lineari. Teorema di Newton Kantorovich. Metodi quasi-Newton.
• Metodi di ottimizzazione. Problemi di minimizzazione per funzionali generali; condizioni di minimo relativo; condizioni necessarie al 1° e al 2° ordine; condizioni sufficienti al 2° ordine; convessità. Funzionali quadratici con matrice simmetrica definita positiva; metodo del gradiente steepest descent (SD); stime di convergenza per il caso quadratico; disuguaglianza di Kantorovich; velocità di convergenza del metodo del gradiente. Esercitazione sul metodo SD.
• Metodi alle direzioni coniugate. Q-coniugazione e implicazioni; teorema di espansione; metodo del gradiente coniugato (CG); teorema di caratterizzazione del metodo del gradiente coniugato; proprietà del metodo; metodo CG come processo ottimale; confronto tra i metodi CG ed SD; stime di convergenza per il metodo CG; stime generali e legami con lo spettro della matrice Q; metodo CG parziale; applicazione al caso di matrici con struttura; metodo del gradiente coniugato precondizionato. Estensione del metodo CG al caso di funzionali non quadratici. Esercitazioni (2) sul metodo CG applicato a problemi ai limiti.
• Metodi di penalizzazione. Proprietà e convergenza; applicazione del metodo CG parziale a problemi di penalizzazione; scaling ottimale della funzione di penalizzazione. Esercitazione sul metodo di penalizzazione.
• Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero (esplicito); convergenza; lemma di convergenza uniforme per le soluzioni generate; convergenza delle funzioni lineari a tratti approssimanti; stime di errore a priori sotto ipotesi di regolarità (classe C2) della soluzione; stime a posteriori dell'errore; metodi a un passo; esempi: metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK). Esercitazione: implementazione di un metodo espicito RK embedded con controllo del passo.
• Convergenza e condizioni dell'ordine. Errore di discretizzazione; incremento relativo esatto, i ncremento relativo numerico; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di consistenza; stime a priori; stime a posteriori; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di Butcher; condizioni dell'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi Runge-Kutta impliciti. Esercitazioni (2): sviluppo di un integratore implicito.
• Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A-stabilità; definizioni più generali di stabilità; il problema della generazione di output denso; metodi continui; metodi di collocazione Gaussiana; aspetti implementativi: controllo del passo. Esercitazione: integrazione di un problema stiff di cinetica chimica.
• Metodi numerici per problemi ai valori al contorno per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di shooting; metodi alle differenze finite; metodi variazionali (cenni); applicazione ad un'equazione modello. Esercitazione: metodo di shooting. Esercitazione: metodo variazionale.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

Testi di riferimento

• J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. , Springer Verlag. 2002.    
• D.G. Luenberger, Linear and nonlinear programming , Kluwer Academic Publishers. 2003.    
• E. Hairer, S.P. Norsett e G. Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Second edition. , Springer Verlag.. 1993.    

Modalità d'esame

Prova orale e sviluppo di una tesina su un problema da studiare in laboratorio.

Risorse Internet

Aggiornamenti alla pagina del corso

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