Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2019/2020
Nome:
Advanced Numerical Analysis / Advanced Numerical Analysis
Informazioni
Crediti:
: Master Degree in Mathematics 6 CFU (b)
Erogazione:
Master Degree in Mathematics 2nd anno curriculum Generale Compulsory
Lingua:
Inglese
Prerequisiti
Analisi numerica di base. Equazioni differenziali.
Obiettivi
Obiettivo del corso:
Fornire gli strumenti matematici adatti alla soluzione numerica dei problemi di ottimizzazione e di modellistica
differenziale. Il corso è di 6CFU ed ha una durata di 60 ore.
Risultati di apprendimento previsti:
Essere in grado di risolvere numericamente e di sviluppare codici per problemi generali di ottimizzazione e
per la soluzione di problemi nella modellistica differenziale.
Sillabo
- Metodi iterativi per la soluzione di equazioni e sistemi non-lineari. Metodo di bisezione per
equazioni nonlineari. Teoria generale dei metodi iterativi. Convergenza e ordine. Metodo
di Newton. Estensione al caso di sistemi non lineari. Teorema di Newton Kantorovich.
Metodi quasi-Newton.
- Metodi di ottimizzazione. Problemi di minimizzazione per funzionali generali; condizioni di minimo
relativo; condizioni necessarie al 1° e al 2° ordine; condizioni sufficienti al 2° ordine; convessità.
Funzionali quadratici con matrice simmetrica definita positiva; metodo del gradiente steepest
descent (SD); stime di convergenza per il caso quadratico; disuguaglianza di Kantorovich;
velocità di convergenza del metodo del gradiente.
Esercitazione sul metodo SD.
- Metodi alle direzioni coniugate. Q-coniugazione e implicazioni; teorema di espansione; metodo
del gradiente coniugato (CG); teorema di caratterizzazione del metodo del gradiente coniugato;
proprietà del metodo; metodo CG come processo ottimale; confronto tra i metodi CG ed SD;
stime di convergenza per il metodo CG; stime generali e legami con lo spettro della matrice Q;
metodo CG parziale; applicazione al caso di matrici con struttura; metodo del gradiente coniugato
precondizionato. Estensione del metodo CG al caso di funzionali non quadratici.
Esercitazioni (2) sul metodo CG applicato a problemi ai limiti.
- Metodi di penalizzazione. Proprietà e convergenza; applicazione del metodo CG parziale a problemi
di penalizzazione; scaling ottimale della funzione di penalizzazione.
Esercitazione sul metodo di penalizzazione.
- Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie.
Metodo di Eulero (esplicito); convergenza; lemma di convergenza uniforme per le soluzioni generate;
convergenza delle funzioni lineari a tratti approssimanti; stime di errore a priori sotto ipotesi di
regolarità (classe C2) della soluzione; stime a posteriori dell'errore; metodi a un passo; esempi:
metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK).
Esercitazione: implementazione di un metodo espicito RK embedded con controllo del passo.
- Convergenza e condizioni dell'ordine. Errore di discretizzazione; incremento relativo esatto, i
ncremento relativo numerico; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di
consistenza; stime a priori; stime a posteriori; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di
Butcher; condizioni dell'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi
Runge-Kutta impliciti.
Esercitazioni (2): sviluppo di un integratore implicito.
- Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A-stabilità; definizioni più generali di stabilità;
il problema della generazione di output denso; metodi continui; metodi di collocazione Gaussiana;
aspetti implementativi: controllo del passo.
Esercitazione: integrazione di un problema stiff di cinetica chimica.
- Metodi numerici per problemi ai valori al contorno per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di shooting; metodi alle differenze finite; metodi variazionali (cenni); applicazione ad un'equazione
modello.
Esercitazione: metodo di shooting.
Esercitazione: metodo variazionale.
Descrittori di Dublino
Alla fine del corso, lo studente dovrebbe
- avere conoscenza degli algoritmi principali per la soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare
e per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie (problemi ai valori iniziali e problemi con valori al bordo).
Testi di riferimento
- J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. , Springer Verlag. 2002.
- D.G. Luenberger, Linear and nonlinear programming , Kluwer Academic Publishers. 2003.
- E. Hairer, S.P. Norsett e G. Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Second edition. , Springer Verlag.. 1993.
Modalità d'esame
Prova orale e sviluppo di una tesina su un problema da studiare in laboratorio.
Aggiornamenti alla pagina del corso
Le informazioni sulle editioni passate di questo corso sono disponibili per i seguenti anni accademici:
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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 28 settembre 2017, 10:40