Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2018/2019
Nome:
Numerical Methods For Differential Equations / Numerical Methods For Differential Equations
Informazioni
Crediti:
: Master Degree in Mathematics 6 CFU (b)
Erogazione:
Master Degree in Mathematics 2nd anno curriculum Generale Compulsory
Lingua:
Inglese
Prerequisiti
Conoscenze di base di Analisi Numerica ed equazioni differenziali.
Obiettivi
Questo è un corso monografico sull'approssimazione numerica di equazioni differenziali che intende fornire sia aspetti di base sulla tematica, sia aspetti più avanzati. Unitamente allo studio teorico dei metodi numerici e delle loro proprietà, il corso intende anche fornire gli strumenti di base per il disegno di software matematico che implementi i metodi studiati e l'analisi dei risultati su una selezione di problemi test rilevanti.
Sillabo
- The problem: Hadamard well-posed differential problems. Picard-Lindelof iterations. Existence and uniqueness of solutions. Continuous dependence on initial data and vector fields. Gronwall lemma. Examples of differential problems of interest in real applications.
- Basics on discretization of differential problems: difference equations, consistency, stability, convergence.
- Runge-Kutta methods. Formulation of methods. Butcher theory of order conditions, rooted trees and B-series. Error estimations, Richardson extrapolation, embedded methods. Stepsize control. Collocation methods. Implicit Runge-Kutta methods. Stability analysis.
- Linear multistep methods. Adams-Bashforth methods. Analysis of convergence, Lax theorem. Variable stepsize, Nordsieck formulation. Analysis of stability, boundary locus. BDF methods.
- Stiff problems. A-stability, L-stability, stiffly-stable methods. Schur polynomials, Routh-Hourwitz criterion.
- Structure-preserving approximation: the case of Hamiltonian problems. Basics on Hamiltonian dynamics, invariant preservation. Symplectic numerical methods. The non-symplecticity of linear multistep methods. Long-term properties of symplectic integrators. Quasi-conservation of invariants. Dynamics of multistep methods. Underlying one-step method. Backward error analysis.
- Numerical approximation of stochastic differential equations. Strong and weak solutions. Euler-Maruyama method, Milstein method. Mean-square convergence. Linear multistep stochastic methods. Stochastic Runge-Kutta methods. Mean-square and asymptotic stability.
- Oscillatory differential equations. Modulated Fourier series expansions. Long-term near conservation of total and oscillatory energy.
Descrittori di Dublino
Alla fine del corso, lo studente dovrebbe
- aver maturato la conoscenza dei più rilevanti metodi numerici per l'approssimazione di equazioni differenziali, unitamente agli aspetti legati alla loro implementazione in un software matematico accurato ed efficiente.
Testi di riferimento
- E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner, Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations , Springer. 2006.
- E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems , Springer. 1993.
- E. Hairer, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems , Springer. 1996.
Modalità d'esame
Esame orale e un progetto finale che consiste nell'applicazione del software sviluppato ad alcuni problemi test scelti. Il progetto verrà discusso nello stesso giorno dell'esame orale.
Aggiornamenti alla pagina del corso
Le informazioni sulle editioni passate di questo corso sono disponibili per i seguenti anni accademici:
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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 16 ottobre 2017, 18:51