Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2018/2019
Nome:
Calcolo delle probabilità B / Probability B
Informazioni
Crediti:
: Bachelor Degree in Mathematics 6 CFU (b)
Erogazione:
Bachelor Degree in Mathematics 3rd anno curriculum Generale Compulsory
Lingua:
Italiano
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Prerequisiti
Corsi base di analisi e probabilità dei primi due anni.
Obiettivi
Si prevede che con questo corso lo studente acquisisca la conoscenza della teoria della probabilità in spazi campione generali e sappia applicarla allo studio di problemi concreti. Lo studente impara anche il piu semplice dei processi stocastici, le catene di Markov e alcune applicazioni a fenomeni di interesse in vari campi come fisica e biologia.
Sillabo
- Spazi di misura: algebre e sigma-algebre. Sigma-algebre generate da una famiglia di sottoinsiemi dello spazio campione. Primo Lemma di Borel-Cantelli. Teorema di Charathèodory. Misura di Lebesgue in un intervallo.
- Funzioni misurabili e variabili aleatorie. Proprietà elementari delle funzioni misurabili. Funzioni di distribuzione e loro proprietà. Esistenza di una variabile aleatoria con assegnata funzione di distribuzione.
- Catene di Markov omogenee. Probabilita di transizione ad 1 e n passi. Equazioni di Chapman-Kolmogorov.
- Catene di Markov omogenee. Distribuzioni congiunte
Distribuzioni finito-dimensionali.
- Esempi di Catene di Markov: passeggiata aleatoria con o senza barriere. Processi di nascita e morte, catena di Ehrenfest.
- Tempi di arresto: primo tempo di arrivo ad uno stato. Stati transienti e ricorrenti.
Probabilità di assorbimento.
- Numero di visite ad uno stato. Proprieta e caratterizzazioni degli stati transienti e ricorrenti. Decomposizione dello spazio degli stati.
- Distribuzioni stazionarie, proprieta ed esempi.Distribuzioni stazionarie per le catene di nascita e morte. Processi reversibili. Catene regolari: Teorema di Markov-Kakutani. Stati numerabili: catene irriducibili.
- Teoremi limite. Modi di convergenza. Legge dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. Legge 0-1. Catene ergodiche.
Applicazioni.
Descrittori di Dublino
Alla fine del corso, lo studente dovrebbe
- have profound knowledge of the fundamental concepts and techniques in probability, have good knowledge and understanding of the homogeneous Markoc chains, have profound knowledge of the limit theorems.
On succesfull completion of this course, the student should understand the connections of probability with other fields of mathematics and should be aware of potential applications.
On succesfull completion of this course, the student should communicate the results and the understanding of its studies during the course.
On succesfull completion of this course, the student should be able to read and understand books and seminar in advanced probability topics.
Testi di riferimento
- P. Baldi, Calcolo delle Probabilità , McGraw-Hill. 2007. testo principale
- P. Billingsley, Probability and Measure , John Wiley & Sons. 1986. testo di approfondimento
- G. Grimmett and D. Stirzaker , Probability and Random Processes , Oxford. 2001. testo principale
Modalità d'esame
Prova scritta.
Aggiornamenti alla pagina del corso
Le informazioni sulle editioni passate di questo corso sono disponibili per i seguenti anni accademici:
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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 20 settembre 2016, 13:46
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