Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2014/2015

Prerequisiti

Lo studente deve conoscere le succesioni e serie numeriche e il calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile reale e l'algebra lineare. In sintesi i contenuti dei corsi di Analisi Matematica   e Geometria del I anno.

Obiettivi

Gli obiettivi formativi del corso riguardano la conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Lo studente dovrà  inoltre sviluppare  la capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzioni   di problemi ed esercizi non banali. I concetti principali verranno esposti, ove possibile sviluppando collegamenti con le applicazioni alla fisica e ad altre scienze e fornendo qualche nozione sui principali riferimenti storici. 

Sillabo

• Funzioni di più variabili: limiti, continuità e calcolo differenziale, sviluppi di Taylor con resto di Peano e Lagrange
• Funzioni implicite e inversione locale: il Teorema di Dini: R^2, funzioni implicite nel caso generale R^(n+m), R^m. T Teorema di invertibilità locale.
• Ottimizzazione delle funzioni di più variabili: massimi e minimi liberi e vincolatiEstremi Vincolati
• Misura e Integrazione.
• Curve, Integrali curvilinei e Forme Differenziali.
• Superfici ed Integrali di Superficie
• Teoremi di Gauss- Green, Stokes e Divergenza
• Successioni di Funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme. Passaggio al limite sotto al segno di derivata.  Passaggio al limite sotto al segno di integrale.
• Serie di Funzioni: convergenza puntuale totale e uniforme. Scambio tra derivate e serie e tra integrale e serie.  Serie di potenze nel campo complesso: convergenza puntuale e uniforme.  Derivata e integrale di serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier: teoremi di convergenza puntuale e uniforme, teorema di integrazione termine a termine.
• Equazioni differenziali: equazioni differenziali ordinarie in forma normale, il problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.  Sistemi lineari omogenei. Determinante wronskiano. Matrice esponenziale. Sistemi omogenei del primo ordine a coefficienti costanti. Equazione lineare di  ordine n e sistema del primo ordine equivalente.  Sistemi autonomi. Punti critici, stabilità e instabilità. Metodo di Liapunov, teorema di stabilità di Liapunov. Metodo di linearizzazione.

Descrittori di Dublino

Alla fine del corso, lo studente dovrebbe

Testi di riferimento

• C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica , Zanichelli. (vol. 1,2)    

Modalità d'esame

Prova scritta e orale. Sono previste prove parziale in itenere.

Risorse Internet

Aggiornamenti alla pagina del corso

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