Dettagli sull'Insegnamento per l'A.A. 2018/2019
Nome:
Analisi Numerica / Numerical Analysis
Informazioni
Lingua:
Italiano
Prerequisiti
Analisi Matematica I e Algebra Lineare
Obiettivi
Fornire gli strumenti matematici adatti alla soluzione numerica dei problemi di base delle scienze applicate e allo sviluppo di algoritmi in un linguaggio di programmazione strutturata
Sillabo
- Analisi degli errori: rappresentazione normalizzata dei numeri reali. I numeri macchina e il sistema floating point. Condizionamento delle operazioni. Operazioni macchina.
Troncamento ed arrotondamento. Propagazione degli errori. Condizionamento dei problemi e stabilità degli algoritmi.
- Algebra lineare numerica: vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Autovalori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Classi di matrici particolari (matrici hermitiane, definite positive, ecc.). Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. Fattorizzazioni LU ed LL^H. Fattorizzazione di Cholesky. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di condizionamento. Backward analysis.
- Calcolo di autovalori e autovettori: localizzazione degli autovalori nel piano complesso. Teoremi di perturbazione per gli autovalori. Metodo delle potenze e variante di Wielandt per la determinazione di autovalori ed autovettori di matrici. Cenni sul metodo QR.
- Interpolazione ed approssimazione: calcolo di un polinomio algebrico in un punto. Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Errore di interpolazione. Polinomi di Chebyshev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima norma. Calcolo del polinomio di interpolazione. Formula di Newton delle differenze divise. Cenni sul problema della convergenza di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline cubiche.
- Formule di quadratura: forma generale di una formula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Stima empirica dell'errore. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva (cenni).
- Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni: metodi di tipo splitting; teorema generale di convergenza; controllo dell'errore; metodi iterativi di Jacobi e di Gauss Seidel; teorema di convergenza per il metodo di Jacobi applicato a sistemi fortemente e debolmente diagonali dominanti.
- Elementi di programmazione in MATLAB: file, funzioni, array e strutture dati, operatori Matlab, formattazione dei dati, comandi e funzioni Matlab di utilità, comandi per i grafici.
Applicazione del Matlab all'Analisi Numerica: realizzazione in laboratorio di programmi e function Matlab riguardanti sistemi lineari, equazioni non lineari, interpolazione di dati e funzioni, autovalori e autovettori.
Descrittori di Dublino
Alla fine del corso, lo studente dovrebbe
- avere una buona conoscenza e comprensione dei principali concetti e tecniche dell'Analisi Numerica;
essere in grado di applicare la sua conoscenza e comprensione per affrontare numericamente, utilizzando uno strumento di programmazione (Matlab), problemi di Matematica e di Ingegneria;
dimostrare abilità nel ragionamento matematico e numerico;
comprendere e spiegare le principali nozioni e risultati dell'Analisi Numerica;
dimostrare capacità di lettura e comprensione di altri testi su argomenti correlati.
Testi di riferimento
- E.Isaacson, H.Keller, Analysis of numerical methods , J.Wiley & sons, New York. 1966.
- G.Monegato, Calcolo Numerico , Levrotto e Bella, Torino. 1985.
- J.Stoer, R.Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis , Springer Verlag. 1993.
- W. J. Palm III, Matlab 6 per l'Ingegneria e le Scienze , Mc Graw Hill. 2003.
- D. Bini, M. Capovani e O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare , Zanichelli. 1988.
Modalità d'esame
Prova scritta e prova di laboratorio (prova orale facoltativa).
Durante il corso sono fissate due prove scritte intermedie (a metà semestre e a fine semestre) e una di laboratorio (a fine semestre) che consentiranno – se avranno esito positivo - di superare l'esame
Note
- Corso da 9 CFU (Laurea di primo livello in Matematica)
Aggiornamenti alla pagina del corso
Le informazioni sulle editioni passate di questo corso sono disponibili per i seguenti anni accademici:
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Ultimo aggiornamento delle informazioni sul corso: 27 settembre 2018, 20:50